Comme chaque année au mois de mai, Philippe, le coach technique, se rend aux compétitions interclubs

La compétition de perche s’annonce longue sous le soleil, un couvre-chef est indispensable et il a promis d’apporter les casquettes pour les deux autres membres du jury de ce concours; avec la sienne, il veut absolument que les 3 casquettes soient de couleurs différentes

Le problème est qu’il dispose de tout un stock de casquettes de 6 couleurs différentes (des bleues, des rouges, des vertes, des blanches, des jaunes et des orange)

Combien de possibilités différentes de trios de casquettes il a en tout ?

A priori, Philippe pense qu’il y a plus d’une chance sur deux. Et vous ?

Réponse :

Procédons pas étape : tout d’abord, voyons le nombre de trios de casquettes toutes identiques (par exemple, bleue-bleue-bleue) ; il y a 6 couleurs donc 6 trios possibles

Recherchons ensuite le nombre de trios comportant 2 casquettes d’une même couleur et la 3^ème d’une autre couleur (par exemple, bleue-bleue-rouge) : il y a 6 possibilités de double couleur ; ensuite, il y a 5 choix possibles pour que la 3^ème casquette soit d’une couleur différente : donc 6 x 5 = 30 nouveaux trios

Regardons maintenant les cas où les trios comprennent 3 casquettes de couleurs différentes (par exemple, blanche-bleue-jaune) : il y a 6 choix pour la 1^ère casquette, 5 choix pour la 2^ème casquette et 4 choix pour la 3^ème casquette ; donc au total 6 x 5 x 4 = 120 trios possibles

Mais ce dernier raisonnement prend en compte toutes les possibilités, et comme dans le problème des poignées de mains, il y a des doublons ; ainsi l’ordre des couleurs n’a aucune importance ; blanche-bleue-jaune, blanche-jaune-bleue, bleue-blanche-jaune, bleue-jaune-blanche, jaune-bleue-blanche, jaune-blanche-bleue représentent le même trio ; il faut diviser par 6 le nombre de trios, et ils ne sont plus que 120/6 = 20 trios

Au total, il y a donc 6+20+30 = 56 trios possibles

La probabilité de choisir 3 casquettes de 3 couleurs différentes est donc de 20/56, c'est-à-dire 0,36, soit 36%

Comme quoi, les possibilités sont bien moins nombreuses que l’on ne pourrait croire

Le souci est que cette situation est totalement fictive, car en fait, lors des interclubs, Philippe porte toujours un chapeau !....

Certains vont peut-être penser que c’est le webmaster qui travaille du chapeau et que le chaud soleil de l’été lui a tapé sur la tête !?... En tous cas, lui ne porte pas le chapeau !